仿射空间与伪欧氏空间中的张量(w.i.p.)

改变空间性质的必要性

牛顿运动定律成立的参考系叫惯性系。相对于一个惯性系做匀速运动的参考系也是惯性系。按照经典时空观，不同惯性系之间的变换是伽利略变换。由于在伽利略变换下，牛顿定律的形式不变，所以无法用力学实验区分不同的惯性系。这叫做伽利略相对性原理。伽利略相对性原理排除了利用力学实验确定在不同的惯性系中哪一个是绝对静止系的可能性。

在电磁运动规律麦克斯韦方程组中，包含有电磁波的传递速度。然而，实验证明麦克斯韦方程在两个相对速度参考系中具有相同的规律，用电磁学（光学）实验也无法区分不同的惯性系，这就是爱因斯坦的狭义相对论原理。

定义两个事件间隔的平方为

在不同惯性系之间变换时间隔保持不变。这是狭义相对论相对性原理的数学表述。因此，为了达到间隔不变的要求，时间和空间坐标必须结合在一起变，而不是像伽利略变换一样相互独立地分别变换。

仿射空间中的张量

如果将惯性系之间的班换看成是四维空间中的转动，而将看成是分量为的四维矢量自点积，则可以在转动中保持四维矢量的长度不变。不过两个点积的符号有略微差别，于是需要定义伪欧氏空间。

仿射空间的定义

在欧氏空间中去掉矢量点积以后得到的空间称为仿射空间。

仿射空间失去的性质有：

1. 矢量的正交性。不存在点积的定义，随即不存在矢量的正交性。
2. 矢量的长度与两矢量之间的角度。
3. 坐标变换的正交性。坐标变换的正交性指的是保持矢量点积不变的变换，随矢量点积定义的失去而失去。

在其他方面，仿射空间与欧氏空间具有许多相同点。例如，其定义了矢量的加法，满足矢量的加法交换律、分配律、结合律；它定义了

以及

仿射空间中的坐标系及其变换

仿射空间没有度量，因此无法用正交归一式定义坐标基矢。仿射空间通过线性相关性与线性无关性定义。

设有个矢量，如果可以找到一组不是全部为0的数，使得

则称线性相关；反之称为线性无关。

如果在一个仿射空间中可以找到个线性无关的矢量，且任何个矢量都是线性相关的，则称这一仿射空间为维仿射空间。其中，任意选取个线性无关的矢量，记作

并称它们为坐标基矢。

对于空间中的任意矢量，总可以将其写为

然后，改写为

记

得到

或者

这里的一组数称为矢量在仿射坐标系中的逆变分量。

事实上，如果在同一仿射空间中，另选一组个线性无关的矢量

展开后得到

$$\boldsymbol{e}1^\prime=A{1^\prime}^1\boldsymbol{e}1+A{1^\prime}^2\boldsymbol{e}2+…+A{1^\prime}^n\boldsymbol{e}_n\boldsymbol{e}2^\prime=A{2^\prime}^1\boldsymbol{e}1+A{2^\prime}^2\boldsymbol{e}2+…+A{2^\prime}^n\boldsymbol{e}_n…\boldsymbol{e}n^\prime=A{n^\prime}^1\boldsymbol{e}1+A{n^\prime}^2\boldsymbol{e}2+…+A{n^\prime}^n\boldsymbol{e}_n$$

或者简写为

由于变化矩阵的行列式不为0，所以存在逆矩阵，并且

$$\sum_{i=1}^nA^i_{i^\prime}(A^{-1})^{j^\prime}{i}=\delta{i^\prime}^{j^\prime}\sum_{i^\prime =1}^n(A^{-1})i^{i^\prime}A^j{i^\prime}=\delta_i^j$$

必须特别注意的是，不再是正交矩阵，因而不存在，且一般说来。

逆变张量与协变张量

现在研究仿射空间中的张量。

由上可得，对任意矢量的展开式有

在新的坐标系中，有

将坐标基矢的变换带入原矢量，得到

$$\boldsymbol{x}=\sum_{i’=1}[\sum_{i=1}(\boldsymbol{A}^{-1})i^{i^\prime}x^i]\boldsymbol{e}{i^\prime}$$

与新坐标系中展开的矢量比较，有

定义像这样，在n维仿射空间的任意坐标系中给出一组数，如果当坐标基矢由矩阵变换时，这一组数由逆转置矩阵变换，则称这一组数构成一个一阶逆变张量。

相似地，在仿射空间中还可以定义协变张量。

仿射空间中由足够的坐标基矢与对应的系数可以确定一个平面方程：

进行坐标变换后，相应的新平面方程为

类似地，将基矢变换的表达式带入前式

比较得到

这说明，在这种坐标变换下，和坐标基矢的变换规律相同。

定义像这样，在维仿射空间的任意坐标系中给出一组数，如果当坐标变换时，它们和坐标基矢有相同的变换规律，则这一组数构成一阶协变张量。

可以发现，仿射空间中的张量有协变和逆变两种，这是因为仿射空间中的变换矩阵不是正交矩阵。

类似地，可以定义一般的高阶张量。

在仿射空间中的任意坐标系中给定一组数

，

它有和下标，个上标。如果当坐标变换时，每个下标独立地按坐标基矢的变换规律变，而每个上标独立地按坐标基矢变换矩阵的转置逆矩阵变

$$a^{j_1’j_2’…j_\mu’}{i_1’i_2’…i_\nu’}=\sum{i_1i_2…i_\nu,j_1j_2…j_\mu}A_{i_1^\prime}^{i_1}…A_{i_\nu^\prime}^{i_\nu}(\boldsymbol{A}^{-1}){j_1}^{j_1^\prime}…(\boldsymbol{A}^{-1}){j_\mu}^{j_\mu^\prime}a^{j_1j_2…j_\mu}_{i_1i_2…i_\nu}$$

则称这一组数阶协变、阶逆变的张量。

由定义可见，张量的下标都是协变分量，上标都是逆变分量。

张量运算

1. 张量的加法

在进行张量加法时，两个张量的协变指标数和逆变指标数必须分别相等：

2. 张量的乘法

在进行张量的乘法运算时，因子中的协变指标在乘积中也是协变指标，因子中的逆变指标在乘积中也是逆变指标：

3. 指标缩并

在指标缩并时，只能将一个上指标和一个下指标缩并，例如

得到一个阶协变、阶逆变的张量。

4. 指标置换

只有同类型的两个指标才能置换，上指标和下指标不能置换。

由仿射空间到欧氏空间

首先说明如何从仿射空间过渡到真欧氏空间。

在一个维仿射空间中定义矢量的点积如下：

其中，这样就使仿射空间变为真欧氏空间。欧氏空间中要求保持是两个点积公式不变，因此只能是正交变换，具有

$$(\boldsymbol{A}^{-1})i^{i^\prime}=A{i^\prime}^i$$

在正交变换下，这里的是一个二阶张量，称为欧氏空间的度规张量。由于度规张量，欧氏空间可以定义一个新的张量运算：升降指标。

对于一个逆变张量，可以利用度规张量将其的上标将为下标：

右侧实际上进行了张量的乘积与缩并运算，得到一个协变张量。

事实上，由于，在真欧氏空间中有

每一个逆变张量都对应一个各对应分量具有相等数值的协变张量，因此在欧氏空间中没有必要区分协变与逆变张量。

伪欧氏空间中的张量

伪欧氏空间的建立

考虑狭义相对论，有

以及

为了形式上的对称性，令

定义间隔

于是，在惯性系之间变换时，空间坐标和时间坐标结合在一起进行变换，可以将它们看成一个四维“空间”矢量的四个分量；其中的间隔可以看作是四维空间矢量的“长度”。

但此时，长度不再是简单的矢量自积后开方，而是等于0分量的平方减去1，2，3三个分量的平方和再开方。这样的空间不是真欧氏空间。

利用如下定义的协变度规张量定义四维空间中矢量的点积：

点积为

或者写为

按照这样的附加点积规则定义的仿射空间，得到的空间称为四维伪欧氏空间。

伪欧氏空间中的坐标基矢

四维伪欧氏空间中的坐标基矢是：

点积为

其中

必须注意，对应与空间轴的基矢的长度为而不是1，这是伪欧氏空间不同于真欧氏空间的地方。

伪欧氏空间中的张量

定义满足

为协变度规张量，定义满足

为逆变度规张量。它们满足

可以将伪欧氏空间中的度规张量写为矩阵形式，满足

相应的，在四维真欧氏空间的度规张量为

同样地，现在可以在伪欧氏空间中定义升降指标运算。

为了书写简单，常采爱因斯坦求和约定：如果在某一项中有一个上指标和下指标相同，就意味着对于这一指标从0到3作和。于是，将和的缩并写为

可以的得到一个一阶协变二阶逆变的张量