3 输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论

黏性现象的宏观规律

牛顿黏性定律 层流 湍流与混沌

1. 层流：

   当流速较小时，流体作分层平行流动，流体质点的轨迹是有规则的光滑曲线。在流动过程中，相邻质点的轨迹线彼此稍有差别，流体不同的质点的轨迹线不相互混杂，这样的流动称为层流（laminar flow）。

2. 湍流：

   当流速较大时，或准确来说，当雷诺数较大时，流体流动将变为湍流（turbulent flow）。湍流中最重要的现象是由这种随机运动引起的动量、热量和质量的传递，其传递速率比层流高好几个数量级。湍流利弊皆有，一方面它强化传递和反应过程，另一方面极大地增加摩擦阻力和能量损耗。

3. 混沌：

   自然界中普遍存在一类在决定性的动力学系统中出现貌似随机性的宏观现象，人们称它为混沌（chaos）。这样的“假随机性”与方程中有反映外界干扰的随机项获随机系数而引起的随机性不同，他是决定性系统内部说固有的，可以称为“内禀随机性（intrinsic stochasticity）”。

4. 定常流动中的黏性现象：

   液体作层流时，通过任一平行于流速的截面两侧的相邻流体上作用有一对阻止它们相对滑动的切向作用力与反作用力，使流动较快的一层流体减速，流动较快的一层流体加速，这种力称为黏性力（viscous force），也称为内摩擦力。

5. 牛顿黏性定律：

   牛顿黏性定律（Newton’s law of viscosity）如下：

   其比例系数称为流体的黏度，它的单位是帕斯卡秒（Pas）。

6. 动量流密度：

   在横截面积上转移的动量流称为动量流密度切向动量流密度（momentum flow density）：

   其中的负号表示定向动量总是沿流速变小的方向输运的。

7. 非牛顿流体：

   非牛顿流体（non-Newtonian fluid）分为三类：

   1. 其速度梯度与互相垂直的黏性力间不呈线性函数关系，如泥浆、橡胶、血液等
   2. 其黏度会随时间而变成与流体此前的历史过程有关（称为时效），如油漆等凝胶物质
   3. 对形变具有部分弹性恢复作用，如沥青等黏性弹性物质

8. 气体黏性微观机理：

   实验证实，常压下气体的黏性就是由流速不同的流体层之间的定向动量的迁移产生的。不过，对于压强特别低的气体（称为克努森气体），其黏性的机理与此不同，这将在后面讨论。

泊肃叶定理 管道流阻

**泊肃叶定理(Poiseuille’s law)**指出，对于水平直圆管的体积流量有

观察本式，若定义

为体积流量，定义

为管道**流阻(flow resistance)**，则有

这和欧姆定律十分相似；而流阻的定义也与电阻定律十分相似，所不同的是它与管径的四次方成反比。i.e，半径的微小变化会对流阻产生更大的影响。

斯托克斯定律

当球形物体在黏性流体中运动时，若流体的雷诺数小于1，则物体表面黏附的流体层与相邻的流体层之间存在的黏性力满足**斯托克斯定律(Stokes formula)**：

iff

若雷诺数继续增大，例如时，实验发现其阻力此时与黏度无关，并且满足关系

扩散现象的宏观规律

自扩散与互扩散

实际的扩散过程是较为复杂的，它常和多种因素有关，即使是在一些简单例子中，所发生的也大多是两种气体间的**互扩散(mutual diffusion)。为了讨论简化，我们一般讨论自扩散(self diffusion)**，这是互扩散的一种特例，它是一种使发生互扩散的两种气体分子的差异尽量变小，使它们相互扩散的速率趋于相等的互扩散过程。

菲克定律

**菲克定律(Fick’s law)**认为在一维（如方向）扩散的粒子流密度与粒子数密度梯度成正比，即

其中的称为扩散系数，单位为。

若在与扩散方向垂直的流体截面上的处处相等，则可得到单位时间内气体扩散的总质量与密度梯度之间的关系

菲克定律也可用于互扩散，其互扩散公式表示为

其中为1分子在2分子中做一维互扩散时的互扩散系数。

需要指出的是，上面所述气体均是指其压强不是太低时的气体，至于在压强很低时的气体扩散与常压下气体的扩散完全不同，而称为**克努森扩散(Knudsen diffusion)**，或称为分子扩散，气体透过小孔的泻流就属于分子扩散。

与气体黏性相似，扩散是存在同种粒子的粒子数密度空间不均匀性的情况下，由分子热运动所产生的宏观粒子迁移或质量迁移。应把扩散与流体由空间压强不均匀所产生的流动区分开来，后者是有成团粒子整体定向运动而产生，而前者产生于分子杂乱无章的热运动，它们在交换粒子对的同时，交换了不同种类的粒子，致使这种粒子发生宏观迁移。

看作布朗粒子运动的扩散公式

某一布朗粒子扩散满足

热传导现象的宏观规律

傅里叶定律 线性输运与非线性输运

**傅里叶定律(Fourier’s law)**认为热流与温度梯度及横截面呈正比，即

若引入热流密度，则有

若系统已达到稳态，即，则此时利用这两个式子计算传热十分方便；若系统未达到稳态，，则此时情况比较复杂，通常需要借助热传导方程来解决。

热欧姆定律

若定义温度差为温压差()，把热流表示为，则可把一根长为，截面积为的均匀棒达到稳态传热时的傅里叶定律改写为

其中称为热阻率。可以发现，它们的形式与欧姆定律及电阻定律十分类似，我们可把它们分别称为热欧姆定律与热阻定律。需要注意的是，它们主要适用于均匀物质的稳态传热，这是与描述管道中流体流动的管道流阻公式类似的。

如果我们将称为温度场强度，那么傅里叶定律还可以改写为

这就是温度场的微分热欧姆定律，与电路的微分欧姆定律完全类似。

对流传热

流体传热是指借助流体流动来达到传热的过程，室内取暖、大气流动中都伴随有对流传热。对流传热有自然对流与受迫对流之分。

自然对流与受迫对流

在**自然对流(natural convection)**中驱动流体流动的是重力，当流体内部存在温度梯度，进而出现密度梯度时，较高温处流体密度一般小于较低温处流体的密度（呈反常膨胀的流体则与此相反，如0～的水）。

**受迫对流(forced convection)**是指在非重力驱动下使流体作循环流动，从而进行热量传输的过程。

牛顿冷却定律

实际的传热过程一般具有热传导、辐射与对流这三种形式，其过程较为复杂；但对于固体热源，当它与外界的温差不超过时，单位时间内热源向周围传递的热量是与温度差成正比的，而对流传热也有类似的关系，其经验公式就是牛顿冷却定律(Newton’s law of cooling)

其中为环境温度，为热源温度，为热源表面积，是一个与传热方式等有关的产量，称为**热适应系数(heat transfer coefficient)**。该式有时也写成

气体分子平均自由程

碰撞（散射）截面

假设B分子可视为质点，A分子不可视为质点。当两分子束相遇，使B分子恰好不发生偏折的区域直径称为**分子有效直径(molecular effective diameter)。定义分子碰撞截面(molecular collision cross section)**为

定义有效直径分别为和的两刚球分子碰撞截面为

分子间平均碰撞频率

**分子平均碰撞频率(molecular mean collision frequency)**为

处于平衡态的化学纯理想气体中分子平均碰撞频率为

注意到，则上式可改写为

气体分子间相对运动速率分布

A、B两分子间的平均相对运动速率为

其中为**折合质量(reduced mass)**。代入麦克斯韦速率分布，可得

气体分子平均自由程

气体分子在两次碰撞之间的**平均自由程(mean free path)**为

即

或者

这表示，对于同种气体，与成反比，而与无关；在温度一定时，仅与压强成反比。

气体分子的碰撞分布

气体分子的自由程分布

气体分子的**自由程分布(free path distribution)**有

这是气体分子运动到处的残存的概率；微分形式后自由程分布为

气体分子碰撞时间的概率分布

气体分子碰撞时间的概率分布为

微分后有

气体输运系数的导出

气体黏度

在层流流体中，每个分子除有热运动动量外，还叠加上定向动量；由于热运动动量的平均值为0，故只需考虑流体中各层分子的定向动量。黏度来源于流体分子跨越侧平面的动量输运，产生与定向运动相反的切应力，即黏性力。具体地，气体的**黏度(viscosity)**可写为

若利用，有

若认为气体分子为刚球，即，利用公式有

对于非刚性分子，黏性又有实验近似

因此，有如下要点：

1. 与分子数密度或压强无关。气体在平面两侧输送分子的数量加倍的同时，平均自由程也随即减半。
2. 仅与温度有关。
3. 利用上式可测定气体分子的横截面积的数量级。
4. 黏度公式的适用条件为。即，气体分子必须足够稀薄，足以视为理想气体；又足够稠密，遵循统计规律。

气体的热导率与扩散系数

与黏度相似，气体的**热导率(thermal conductivity/heat conductivity)**为

或写为

气体的**扩散系数(diffusion coefficient)**为

需要注意的是，当温度和压强一定时，对于刚性分子，扩散系数有。

另外，这些公式都仅适用于速度梯度、温度梯度、分子数梯度都比较小的情况；同时气体同样需要满足的理想气体条件。

稀薄气体的输运过程

真空

真空度常可分为如下几个级别：极高真空(extremely-high vacuum)、超高真空(ultra-high vacuum)()、高真空(high vacuum)()、中真空()、低真空(low vacuum)()。

上一节提到了理想气体的输运规律。不遵循上一节中输运规律的理想气体一般称为**克努森气体(Knudsen gas)，也称为稀薄气体(rarefied gas)**。

稀薄气体中的热传导现象及黏性现象

定义单位时间内从单位面积平行板上传递的能量为热流密度，有

其中为真空夹层厚度，且远小于平板的几何线度；温度差也远小于绝对温度；传热系数为

可注意到，热流密度实际上与真空夹层厚度无关。另外，热流密度可以改写为

可发现在温度一定时，有