2 守恒定律

守恒定律

能量

首先介绍运动积分。在力学系统中，描述其状态的个变量，随时间变化，但存在关于这些变量的某些函数，其值在运动过程中保持恒定，且仅由初始条件决定，这样的函数称为运动积分。

对于具有个自由度的封闭力学系统，独立的运动积分数等于。简单来说，对于个自由度，可以列出个拉格朗日方程，其中包含个函数：和。或者说，这个微分方程里包含个常数，其中可将其中的一个选为时间的可加函数:

然后将这个任意常数反解为和的函数，这些函数就是运动积分。

并非所有运动积分都具有深刻的意义。这里主要研究那些源自于空间与时间的对称性的运动积分。

由时间的均匀性，我们能够得到能量守恒定律。

由于时间具有均匀性，封闭系统的拉格朗日函数不显含时间。因此有

代入拉格朗日方程得到

从而发现守恒量

定义这个运动积分为系统的能量。推导中只利用了拉格朗日函数不显含时间的性质，所以能量守恒定律不只适用于封闭系统，它对不显含时间的定常外场中的系统也成立。能量守恒的力学系统又称为保守系统。

引入齐次函数的欧拉定理：若一函数本身是齐次的，那么其变量的加权和等于函数本身乘以其齐次度：

其中是函数的齐次度。

由于封闭或处于定常外场中的系统的拉格朗日函数可以写作

利用齐次函数的欧拉定理，可以得到

代入得

在笛卡尔坐标系表象中有

这就是能量守恒定律。

动量

上文中提到，能量守恒定律源自时间的对称性；而这本节中的动量守恒定律和空间的均匀性相关。

根据空间的均匀性，封闭力学系统在空间中整体平移时保持平移性质不变。现研究一个无限小平移，即进行径矢变换。坐标的无穷小改变导致的拉格朗日函数产生的变化为

空间的均匀性保证了。于是根据拉格朗日方程得

定义守恒量

为系统的动量。如果代入拉格朗日方程，可以得到

这就是动量守恒定律。

特别地，由于 (2.10) 可以推知

对于一切封闭系统成立。这就是作用于反作用互等定律（牛顿第三定律）。

另外，若使用广义坐标表象运动，则拉格朗日函数对广义速度的导数

被称为广义动量，而它对于广义坐标的导数

从而拉格朗日方程可以写成

质心

对于不同的惯性参考系，封闭系统具有不同的动量值。一般地，如果参考系相对于参考系以相对速度运动，那么有

或者说

特别地，总存在一个参考系，某一封闭系统相对该参考系的动量为0。令，得到

如果力学系统的动量为0，那么在这个参考系看来，系统相对于参考系静止，而上式总定义出的速度，具有表征系统整体运动速度的含义。由此可见，动量守恒定律自然定义了系统整体静止和速度的概念。

上式还表明，动量和速度的关系，就好如一个质点的动量和速度的关系，i.e.，如果将系统的质量视为，速度视为，那么系统就可以用坐标来表征速度和位矢：

其中，上式可以看作是下式的积分，这个点被定义为系统的质心。

封闭系统动量守恒定律可以描述为：系统的质心作匀速直线运动。这是前文给出的单一自由质点惯性定律的推广，单一自由质点的质心就是质点本身。

进一步地，力学系统相对参考系和的能量和还有如下关系：

其中，被定义为折合质量或约合质量。进而，系统的能量可以被写为

角动量

我们已经由时间的均匀性与空间的均匀性得到了能量守恒定律和动量守恒定律。现在根据空间各向同性还能得到角动量守恒定律。

与空间的均匀性类似，空间的各向同性意味着封闭系统整体在空间中任意转动时，力学性质（拉格朗日函数）保持不变。同样地，引入无限小转动矢量，与大小相同（注意，只有当转动的角度无穷小时，角度才能被看作是矢量；否则它至少不遵循矢量的运算法则）。径矢有

从而

代入拉格朗日函数

进而有

从而得出

于是定义守恒量

这就是角动量守恒定律。

需要注意的是，在动量矩的定义中出现了径矢。这意味着动量矩的大小虽然和空间的方向无关，但和原点的选取有关。

力学相似性

在前面的部分提到，拉格朗日函数乘以任意常数不会改变运动方程。有时利用这一点就可以做到无需重新求解运动方程即可得到运动相关性质的某些结论。

其中，重要的一类情况就是那些势能是坐标的齐次函数的情况，即势能函数满足条件：

其中，是任意常数，而是位矢对势能的次数。注意到，只需引入变换，，并保证

即

就能保证拉格朗日函数在变换前后只相差一个常系数，而运动方程不变。这就意味着，运动的结果具有几何上的力学相似性。进而容易得到

下面给出几个例子：

1. 当时，不难看出周期与振动的振幅无关（在微振动条件下，其他的回复性振动也可作此近似）。
2. 当时，系统处在均匀力场下。此时势能是坐标的线性函数，因此。不难看出，有

3. 当时，容易得到系统实质上受平方反比力，有

因此，可以推导出开普勒第三定律：轨道运动周期的平方与轨道尺寸的立方成正比。

另外，需要注意的是，如果质点在有限坐标内运动，势能是坐标的齐次函数，则动能和势能的时间平均值具有非常简单的关系。这一定理称为位力定理：

考虑到能量的结构，有

它的证明如下：

已知动能是速度的二次函数，根据齐次函数的欧拉定理可以提出齐次度

利用有

将其对时间求平均，即

其中第一项是对时间的全导数，因此它对无穷时间求平均后的结果必然是0；而第二项的函数在时域内为参数函数，因此积分结果为

应用齐次函数的欧拉定理后即得到结果。

另外需要注意的是，对于（即平方反比力）的情况，有

这意味着，只有当能量为负值时，运动才局限在有限空间内。